VZDĚLÁVACÍ OBLAST: MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE

Vzdělávací oblast je v 6. – 9. ročníku realizována prostřednictvím vyučovacího předmětu:

MATEMATIKA

 Rozvíjení klíčových kompetencí vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace na 2. stupni ZŠ

Matematika  –  výchovně vzdělávací strategie výuky tohoto předmětu

Klíčové kompetence jsou závaznými výstupy vzdělávání a matematika se na jejich utváření podílí zcela zásadním způsobem. I proto je matematika jedním z hlavních pilířů programu Tvořivá škola. Vede žáky k rozvoji logického myšlení a rozvoji jednotlivých klíčových kompetencí, zejména kompetence k řešení problémů. Matematika ve vztahu s fyzikou, pracovními činnostmi a chemií má za cíl vybavit žáky takovými znalostmi, dovednostmi a návyky, aby bylo dosaženo zvýšení technické úrovně vzdělanosti naší mládeže, která je obecně považována za nedostačující.

Matematiku budeme vyučovat od 6. do 9. ročníku jako samostatný předmět. Charakter výuky matematiky je činnostní. Výuku orientujeme tak, aby žáci poznatky získávali na základě individuální nebo skupinové práce. Žáci provádějí zvolené činnosti, které je vedou k pozorování určených jevů. O předkládaných jevech se žáky diskutujeme a vybízíme je k vyjadřování názorů a formulování závěrů vlastními slovy. Následuje upřesnění závěrů učitelem. Tímto způsobem umožňujeme žákům samostatné znovuobjevování poznatků, čímž podporujeme jejich dobré osvojení, postupný rozvoj klíčových kompetencí a podněcujeme zájem o výuku. Takto předkládanému učivu žáci rozumí. Jelikož na mnohé poznatky přicházejí sami, získávají sebedůvěru a nic nebrání dalšímu průběžnému rozvoji klíčových kompetencí.

Vzhledem k rychlému rozvoji vědy a techniky vedeme žáky k přesvědčení, že dobré znalosti z matematiky uplatní v současnosti ve všech oborech. K pochopení, že matematika je dokonalý nástroj, který jim pomůže dobře zvládat i další přírodovědné předměty a může je přivést k dosahování nových objevů.

 Kompetence k učení

Při výuce matematiky dochází hlavně k rozvoji logického myšlení a k rozvoji paměti. Opomenout ovšem nelze ani rozvoj komunikace, pracovních návyků, schopnosti řešit problémy a sociální interakce. Žáci se rovněž učí vyhledávat a třídit informace a nacházet vztahy a souvislosti mezi nimi. Operují také se symboly, znaky, grafy, diagramy a schématy, což je připravuje na obdobné operace používané v běžném životě.

Ve vyučovacím předmětu Matematika na 2. stupni ZŠ je pro utváření a rozvoj kompetence k učení třeba:

–         umožnit žákům pracovat individuálně nebo ve skupinách a při všech činnostech rozvíjet logické myšlení a rozumně postupovat při řešení problémů (dosahujeme toho především řešením úsudkových úloh, a to průběžně od nejnižších ročníků)

–         nechat žáky hovořit o problému, samostatně i ve spolupráci s ostatními žáky vyhledávat a třídit informace, rozlišovat podstatné od nepodstatného, nalézat souvislosti, navrhovat různé způsoby řešení, vyvozovat hypotézy a konečné závěry

–         vést žáky k osvojování si nezbytných matematických vzorců a algoritmů

–         používat pomůcky, modely, reálné materiály (tiskoviny, propagační materiály, plakáty), aby žáci dokázali postupným získáváním matematických znalostí tyto analyzovat, třídit, porovnávat své výsledky a závěry dál používat pro své učení

–         postupně vést žáky k přesnému a stručnému vyjadřování, užívání matematického jazyka i symboliky, k provádění rozborů a stručných zápisů při řešení úloh a ke zdokonalování grafického projevu

–         získávat číselné údaje měřením reálnými měřidly, prováděním odhadů, zaokrouhlováním, studiem a vyhodnocováním tabulek, grafů a diagramů

–         při řešení úloh hledat podobnosti a odlišnosti a vést žáky k efektivnímu učení

–         nechat žáky vysvětlovat objevené závislosti a pravidla, klást si navzájem otázky, odpovídat, přemýšlet o praktickém využití učiva

–         prakticky poznat a ve vztahu s fyzikou porozumět hlavním jednotkám fyzikálních veličin, se kterými se v matematice setkávají

–         upozorňovat žáky na postupy a učivo, které znají z nižších ročníků, z výuky jiných předmětů, z vlastních pozorování, z praktického života, vytvářet návaznosti v učivu (na základě užívaných metod výuky organizovat a řídit proces vlastního učení)

–         vést žáky k sebehodnocení, aby si každý uvědomoval, které učivo ovládá, co sám dokáže vyřešit, co si dokáže samostatně ověřit, aby to, co chápe a umí, dovedl předávat druhým a sám věděl, co si z předávaných poznatků potřebuje doplnit (práce s chybou)

Kompetence k řešení problémů

Matematika využívá řešení úloh, které mají často charakter problémových situací a umožňují žákům objevovat a volit různé postupy řešení. Dbáme na to, aby výuka matematiky byla pokud možno co nejvíce názorná, praktická, založená na dobrém porozumění učivu všemi žáky. Pro postupný rozvoj kompetence k řešení problémů je třeba:

–        o každém předloženém problému s žáky hovořit, kde je to možné, nechat žáky provést nákres, situaci vymodelovat – umožnit jim postupně si osvojovat vhodné metody zobrazování řešených situací

–        problémy důkladně rozebrat – hledat podobnosti v reálném světě, formulovat podstatu problému, popřípadě identifikovat informace chybějící pro řešení problému nebo vyloučit informace nadbytečné a teprve poté navrhnout způsoby a možnosti řešení

–        vyslovovat domněnky o pozorovaných jevech, ověřovat si správnost svých domněnek a závěrů, uvědomovat si, že znovuobjevujeme a dále rozvíjíme poznatky matematiky

–        dát žákům prostor pro vhodné pojmenování problému

–        učit žáky nevzdávat se při prvním nezdaru, učit je hledat pomoc v učebnicích (znovuzopakováním učiva) nebo dalších materiálech, a to ve vzájemné spolupráci se spolužáky, s učitelem, ale i doma v rodině

–        naučit žáky identifikovat chybu a hledat variantní cesty k jejímu odstranění

–        řádně si osvojit matematické pojmy, algoritmy, matematickou terminologii a užívat je

–        uvědomovat si vzájemnou polohu objektů v rovině a prostoru, dokázat si cokoliv dostupnými prostředky vymodelovat

–        nechat žáky samostatně vyhledávat, zkoumat a vyhodnocovat různé grafické prezentace problémů a závislostí

–        umožnit žákům využívat vhodných pomůcek, nástrojů a technických zařízení k vyhledávání informací a řešení problémů (internet, výpočetní technika)

–        ověřovat správnost řešení prakticky a osvědčené postupy aplikovat při řešení podobných nebo nových situací

–        nastolovat problémové situace tak, aby bylo možné poznané metody řešení uplatnit i v jiných (nematematických) oblastech jejich vzdělání

–        pro vedení žáka ke kritickému usuzování a srozumitelné a věcné argumentaci je třeba rozvíjet kombinatorické a logické myšlení, nechat žáky obhajovat vlastní závěry a rozhodnutí

Kompetence komunikativní 

Pro rozvíjení této klíčové kompetence jsou v předmětu matematika ideální možnosti, neboť samo činnostní učení vyžaduje neustálou komunikaci, a to jak mezi žáky navzájem, tak mezi žáky a učitelem. Žákům proto umožňujeme:

–         v klidu, pozorně a s porozuměním číst zadání řešených problémů

–         vyjadřovat svoje názory (např. formou domněnek), navrhovat různé možnosti řešení, hledat argumenty pro jejich zdůvodnění

–         modelovat, popisovat a matematizovat reálné situace při práci s pomůckami, dotazovat se na vzniklé nejasnosti, komunikovat se spolužáky a sledovat jejich závěry

–         porovnávat svoje výsledky řešení se závěry spolužáků, argumentovat, obhajovat své způsoby řešení, poučit se od druhých, naslouchat upřesnění učitele

–         postupně poznávat odborný matematický jazyk a provádět správné matematické zápisy

–         osvojovat si dovednost převádět matematické znaky a symboly do slov běžného jazyka a postupně se učit logickému a přesnému vyjadřování

–         rozvíjet komplexní pohled na daný problém, vidět souvislost mezi reálnou situací a jejím formalizovaným popisem

–         rozumět různým typům záznamů v pracovních materiálech a učebnicích, vybrané způsoby záznamů používat při zpracování svých závěrů

–         závěry prezentovat pomocí ICT a vhodného softwaru, používat informační a komunikační prostředky pro komunikaci jak se spolužáky, tak i s okolním světem

Kompetence pracovní

Tato kompetence se rozvíjí v matematice zvláště v součinnosti s prajtickými činnostmi a výtvarnou výchovou, a to především:

–         měřením veličin, zaokrouhlováním hodnot, porovnáváním, získáváním a tříděním dat, kdy se žáci přibližují k běžně užívaným postupům

–         tím, jak žáci získávají zručnost při výrobě didaktických pomůcek z různých materiálů a při práci s modely, kdy se rozvíjí jejich prostorová představivost a tvůrčí fantazie

–         čtením a rýsováním výkresů a schémat, které vedou k osvojování a rozvíjení technické gramotnosti

–         tvorbou náčrtů a přesným rýsováním, zdokonalujícím žáky v preciznosti práce

–         na základě řešení aplikačních a praktických úloh využívají získané zkušenosti a znalosti v zájmu vlastního rozvoje i své přípravy pro budoucnost

–         umožněním žákům racionálně poznávat své schopnosti a činit podložená rozhodnutí o dalším vzdělávání a profesním zaměření

Kompetence sociální a personální

Tato kompetence je utvářena průběžně od samého začátku výuky matematiky, kdy systematicky podporujeme a rozvíjíme sebedůvěru žáků ve vlastní schopnosti a vytváříme tak předpoklady pro zdravý sociální vývoj. Žákům umožňujeme průběžně komunikovat, doplňovat se, spolupracovat. Individuální práci žáka při řešení složitějších matematických úloh často střídáme s prací ve dvojicích či skupinovou prací. Některé postupy a metody jsou pro skupinové činnosti přímo koncipovány a spolupráci žáků vyžadují. Skupinovou prací můžeme rovněž řešit nedostatek vhodných pomůcek. Pokud je to možné, snažíme se o maximální podíl žáků na zhotovení osvědčených pomůcek. Pro činnostní způsob učení je to naprostá nutnost. Pro rozvoj a utváření kompetence sociální a personální žákům umožňujeme:

–        podílet se společně s učitelem na vytvoření pravidel pro práci ve skupině

–        při práci ve dvojicích nebo skupinách převzít určitou roli, za kterou každý sám zodpovídá

–        přispívat k diskusi při řešení úkolu v malé skupině i v kolektivu třídy

–        podílet se na vytváření příjemné atmosféry v týmu, žáky přitom vedeme k ohleduplnosti a k uznávání druhých, k poskytnutí rady nebo pomoci druhému při společné práci

–        čerpat poučení z toho, co je pro ně nachystáno, co jim učitel předkládá, co mají připraveno v učebních materiálech, co si sami ověří při práci s pomůckami

–        spolupracovat při řešení problémových a aplikovaných úloh, kdy žáci vyjadřují situace z běžného života a následně využívají nabytých dovedností v praxi (žáci tak docházejí k poznávání možností a významu matematiky pro praktický život a skutečnosti, že ke správnému výsledku lze dospět různými způsoby)

–        vytvářet si pozitivní představu o sobě samém, docházet ke správným závěrům a ústně i písemně vyjadřovat své názory, obhajovat svůj způsob řešení

–        postupně poznávat význam studia matematiky pro porozumění globálním souvislostem a multikulturním pohledům na naši civilizaci

Kompetence občanská

V matematice se rozvíjení této kompetence uplatňuje zvláště:

–         rozvíjením důvěry ve vlastní schopnosti a poznáváním svých možností (např. při řešení úloh)

–         vedením žáka k soustavné sebekontrole, a to při každém kroku v celém postupu řešení

–         postupným rozvojem systematičnosti, vytrvalosti, přesnosti žáků

–         získáním dovednosti vyslovovat hypotézy na základě vlastní zkušenosti, dříve získaných znalostí, prováděním pokusů, měřením a ověřováním nebo vyvracením získaných poznatků a výsledků za pomoci protipříkladů

–         když je žáku dávána možnost, aby sám rozhodoval, které dovednosti již dobře ovládá, co ještě potřebuje udělat a zjistit, aby svoje úkoly zvládl

–         když podporujeme tvořivé nápady žáků a pozitivně je hodnotíme

 A) Výchovně vzdělávací cíle vyučovacího předmětu Matematika v 6. – 9. roč.:

–            osvojování nových matematických pojmů a poznatků na základě aktivních činností v návaznosti na předcházející matematické poznání

–            prohlubování poznatků, pozorování a rozlišování, rozvíjení úsudku a zobecňování směřující k logickému myšlení a věcné argumentaci a k přesnému – nejen odbornému – vyjadřování

–            utváření souboru matematických nástrojů a aparátu (početní operace, algoritmy, metody řešení úloh, matematické modely řešení, grafická schémata, tabulky, znázornění, grafy aj.) a jeho efektivního využívání při řešení problémových i aplikovaných úloh vyjadřujících situace z běžného života

–            získávání obecnějších dovedností a návyků (rozbor problému a plán řešení, odhad, volba správného postupu a prostředků řešení, vlastní řešení, kontrola správnosti), a to prostřednictvím osvojování si matematických poznatků, metod řešení úloh a problémů, poznáváním logické stavby a systému v matematice

–            rozvíjení a uplatňování přesného a stručného vyjadřování prostřednictvím užívání odborného jazyka, symboliky, algoritmů, rozborů a zápisu řešení obecnějších matematických úloh

–            utváření dovedností vedoucích k přesnému, pečlivému, přehlednému grafickému projevu, a to nejen v oblasti geometrické

–            vytváření dostatku příležitostí aktivně se podílet na vlastním vzdělávání, samostatně se projevovat, řešit úlohy, získávat nové vědomosti vlastní činností, a to prostřednictvím činnostního pojetí vyučování, tj. uplatňováním postupů a forem práce, které umožňují maximálně využívat vlastních zkušeností a dovedností

 B) Charakteristika výuky matematiky na 2. stupni základní školy

Ve výuce matematiky se každý pojem buduje postupně, vyvíjí se a dotváří. Proto na sebe jednotlivé tematické celky musí navazovat, a to včetně symboliky a dikce. Pokud dojde k narušení tohoto procesu a systému, k nepochopení pojmu, k nezvládnutí poznatku nebo činnosti, nelze úspěšně zvládnout následné učivo a dosáhnout očekávané výstupy. Vzniká tak i obecný pocit náročnosti, těžkosti a výjimečnosti matematiky.

            Matematika tvoří systém, který nelze v žádném ročníku přerušit, učit izolovaně jednotlivé celky bez vzájemných vztahů, propojenosti, odvolávání se již na osvojené poznatky, postupy, metody atp. Z tohoto hlediska je i obsah učiva matematiky ve vzdělávacím programu pro 2. stupeň ZŠ vymezen do jednotlivých ročníků a doplněn doporučenými dílčími výstupy a požadavky na žáka. Obsah učiva v jednotlivých ročnících je doplňován neopomenutelnými tematickými celky pro zajištění návaznosti učiva, jeho osvojení a upevnění: desetiminutovky, shrnutí a opakování učiva, souhrnná cvičení, závěrečná opakování.

            Ve vzdělávacím programu Tvořivá škola jsou matematické pojmy a vztahy předávány důsledně systematicky a v návaznosti na předcházející, již osvojené si matematické poznatky, a to v obecně a šířeji formulovaných tematických okruzích:

–         Číslo a proměnná (číslo a početní operace na 1. stupni ZŠ)

–         Závislosti, vztahy a práce s daty

–         Geometrie v rovině a v prostoru

–         Aplikační úlohy a problémy

Obsah tematických celků je minimem základního vzdělávání v matematice na 2. stupni ZŠ. Tematické celky lze charakterizovat:

– Číslo a proměnná

V návaznosti na tematický celek Číslo a početní operace na 1. stupni ZŠ si žák rozšiřuje číselný obor přirozených čísel na obor čísel celých, racionálních a analogicky si v těchto oborech osvojuje početní operace. Důraz je kladen na osvojení dovednosti provádět operaci a schopnost operaci propojit s reálnou situací.

V souvislosti s rozšiřováním číselných oborů žák získává dovednost odhadovat a zaokrouhlovat s danou přesností, užívat různé způsoby kvantitativního vyjádření vztahu celek–část, řešit situace vyjádřené poměrem, pracovat s měřítky map a plánů, řešit aplikační úlohy na procenta. Žák se učí efektivně využívat výpočetní techniku pro školní práci i praxi mimo ni.

            Významnou úlohu v základním vzdělávání matematiky pro potřeby dalšího vzdělávání, ale i pro matematizaci reálných situací, má pojem proměnná. Přírodovědné obory, technické obory, ale i obory ostatní pracují s obecnými formulacemi, zápisy, vzorci, rovnicemi atd. a na různé úrovni uplatňují znalost základů algebry, práci s výrazy a proměnnou. Proto se zaměřujeme na práci s proměnnou a na dobré osvojení základů algebry všemi žáky a ne pouze žáky s výraznými studijními předpoklady.  

– Závislosti, vztahy a práce s daty

Žák pozoruje a rozpoznává projevy jevů, jejich změny a závislosti jako projevy praktického života a dochází k pochopení vzájemných vztahů. Žák závislosti zkoumá prostřednictvím tabulek, diagramů a grafů, v jednoduchých případech je konstruuje, vyjadřuje matematickým zápisem nebo je modeluje. Zkoumáním těchto vztahů a závislostí směřuje k vyvození a pochopení pojmu funkce. Významné místo v tomto tematickém celku pro názorné přiblížení učiva (práce s tabulkou, konstrukce grafů, proměna grafu aj.) má využití vhodného počítačového softwaru. Realizování obsahu učiva daného tematického celku pomocí příslušných výukových programů na počítači umožňuje žákovi názornější a snazší pochopení pojmu funkce. Prostřednictvím tabulek a grafů tvořených přímo na obrazovkách vidí vztahy, závislosti a změny, chápou lépe pojem proměnná a funkce a lépe chápou význam funkce v jednoduchých reálných situacích. Pro potřeby nejen dalšího studia, ale i běžného života má učivo v aplikačních úlohách neopomenutelné místo, a to včetně základů goniometrických funkcí. Proto vzdělávací program Tvořivá škola v obsahu učiva realizuje základní poznávání goniometrických funkcí s důrazem na aplikace v praktických situacích.

            Vzdělávací oblast tohoto celku otevírá ideální cestu k uplatňování mezipředmětových vztahů se vzdělávací oblastí Informační a komunikační technologie, s přírodovědnými předměty a k tvořivé činnosti a experimentování žáka. 

– Geometrie v rovině a prostoru

Geometrii na 2. stupni ZŠ vyučujeme pravidelně, každý týden (většinou 2 hod. týdně střídavě s aritmetikou nebo algebrou), v samostatných vyučovacích hodinách, ne v blocích.

            Základní představy žáka o geometrických obrazcích a tělesech jsou rozšiřovány a prohlubovány. Žák určuje a znázorňuje geometrické útvary, popisuje je slovně a geometricky modeluje reálné situace. Řeší geometrické úlohy, počítá obsahy a obvody rovinných obrazců, povrchy a objemy těles. Poznává a užívá základní vztahy mezi rovinnými obrazci (shodnost, podobnost).

            Obsahem učiva je i osvojení si vztahů mezi rovinnými útvary, poznání a využívání metrických vlastností v rovině. Osvojené poznatky a vztahy jsou využívány pro řešení jednoduchých konstrukčních úloh a úloh z běžné životní praxe.

            Významné místo v realizaci tohoto tematického celku má utváření správných dovedností a návyků při rýsování, užívání správných a vhodných pomůcek pro rýsování a formování celkového grafického projevu žáka. Důraz je kladen i na správné, přesné a odborné vyjadřování, užívání matematické symboliky a dodržování algoritmů řešení (např. konstrukční úlohy). Uvedené požadavky nemají samoúčelný význam jen pro geometrii, ale pomáhají vytvářet obecnější pracovní návyky, dovednost, ovlivňují komunikační dovednosti žáka, spoluformují některé osobní vlastnosti žáka apod.

– Aplikační úlohy a problémy

Úlohy tohoto typu jsou nedílnou součástí všech předcházejících tematických celků v průběhu celého základního vzdělávání v matematice a realizují se průběžně v každé vyučovací hodině.

            Žák se učí řešit problémové situace a úlohy z běžného života s využitím všech osvojených matematických poznatků a dovedností. Osvojuje si obecný algoritmus řešení: analyzovat a pochopit úlohu a problém, utřídit údaje a podmínky, provádět situační náčrt, odhad, problém matematizovat, řešit a výsledek ověřit a konfrontovat s reálnou situací.

            Při řešení úloh žák využívá prostředky výpočetní techniky i některé další pomůcky. Příležitost dostávají i žáci, kteří mají dílčí nedostatky v numerickém počítání nebo v kvalitě rýsování.

            Do tohoto tematického celku včleňujeme také okruh učiva z oblasti finanční matematiky a rýsování. Oba okruhy učiva splňují zaměření na aplikace matematiky při řešení úloh a situací z běžné praxe. Svým obsahem i rozsahem žáka nezatěžují, ale naopak jsou pro něj přínosem, neboť se s problematikou obou témat v praxi setkává a prakticky využívá osvojované poznatky a dovednosti. 

Matematika je v 6. – 7. ročníku vyučována po 4 hodinách týdně, v 8. a 9. ročníku po 5 hodinách týdně. Doporučujeme, aby se aritmetika s geometrií učila střídavě v každém týdnu po 2 až 3 vyučovacích hodinách. Učivo aritmetiky (později algebry) s geometrií se tak lépe vzájemně prolíná a snadněji se mezipředmětově využívá. Tento způsob řazení vyučovacích hodin rozloží učební látku do delšího časového prostoru. To napomáhá snadnějšímu a trvalejšímu osvojení učiva. Pamatujeme na to, že dobré zvládnutí učiva jednoho ročníku, je předpokladem pro zvládnutí učiva v ročníku následujícím. V úvahu je třeba vzít i to, že žák, který chybí týden nebo dva z důvodu nemoci, bude snadněji navazovat na předešlou látku, neboť ano v aritmetice ani v geometrii se neprobere velké množství učiva, výuka v blocích je pro vyšší stupeň vhodná až, když žák již dobře ovládá základní učivo.

            Je-li při střídání 2 hodin aritmetika a 2 hodin geometrie vyučující v některém učivu pozadu, může na týden nebo dva zvolit kombinaci dle potřeby.