Vzdělávací oblast je ve 4. a 5. ročníku realizována prostřednictvím vyučovacího předmětu matematika
Matematika
A) Výchovně vzdělávací cíle:
– osvojování nových matematických pojmů na základě aktivních činností každého žáka
– činnostní rozšíření číselného oboru, utvrzení představy o desítkové soustavě
– předkládání nových poznatků ve spojení s předcházejícím učivem, uplatnění analogie pro zavedení početních výkonů v rozšířeném číselném oboru žáky
– využívání schopnosti žáků objevovat za vedení učitele další nové matematické poznatky na základě pozorování a rozlišování, vyslovovat závěry, pokoušet se o zobecňování
– postupné zdokonalování přesnosti matematického vyjadřování
– zařazování praktických činností (např.: měření, odhady, porovnávání velikostí a vzdáleností) s cílem získání správných představ a zručnosti
– spojování nových poznatků v matematice s vědomostmi žáků získanými v běžném životě
– využívání matematických poznatků a dovedností žáky v praktickém životě
– používání peněz při činnostním řešení úloh s náměty z obchodování
– peníze v praktickém životě
– věnování času nápadům žáků, jejich dotazům, ukázkám různých způsobů řešení úloh
– vyslovování úsudků k úlohám, vytváření předpokladů pro rozvíjení logického myšlení
– vytváření obměn slovních úloh a matematických problémů pro různé obory činnosti lidí
– podporovat schopnost žáků rozumět grafickým schématům tabulkám i jiným schematickým znázorněním, vytvářet jednoduchá schémata, vést žáky ke grafické gramotnosti
– praktické osvojování základních poznatků z geometrie
B) Charakteristika výuky matematiky v 2. vzdělávacím období:
Při výuce matematiky nelze stanovit přesnou hranici mezi etapou vytváření konkrétních představ a mezi etapou vytváření pojmů. Je to hlavně proto, že přechod k abstrakci trvá téměř u všech žáků dlouho a neprobíhá u všech stejně. Činnostní výuka matematice i v tomto období umožňuje, aby si žáci matematické pojmy osvojovali správně a s co nejmenší námahou. Proces abstrakce usnadňují žákům pomůcky, kterými si znázorňují, stejně jako v minulých letech, nové a dosud neosvojené početní situace. Proces abstrakce urychlují též nákresy, náčrty a geometrická zobrazení, ukazující vztahy mezi údaji v úloze.
Mnoho pojmů se i v tomto období utváří ve vědomí žáků postupně, na základě soustavně prováděných činností, neustálým obohacováním dosavadních představ. Ve vzájemné souvislosti se přitom rozvíjí celá řada pojmů současně: pojem čísla, pojem desítkové soustavy, pojem početních výkonů. Přitom se více dbá e na praktické použití pojmů než na vyslovování definicí (v tomto období není nutné po žácích definice požadovat). Jde hlavně o to, aby se představy žáků o číslech obohacovaly, aby chápali význam desítkové soustavy, aby dovednost početních výkonů s přirozenými čísly využívali při řešení slovních úloh a početních situací z běžného života a dovedli dobře úsudkově rozlišovat, kdy který početní výkon použít. Tyto dovednosti pak můžeme rozvíjet předkládáním různých výhod v počtech a zjednodušováním výpočtů.
V celém 2. období jsou žáci ve výuce matematiky podněcováni k sebedůvěře, učí se různými způsoby kontrolovat výpočty, uvažovat o možnostech výsledků, odhadovat. Jsou tak soustavně vedeni k sebekontrole a sebehodnocení, a to jak v aritmetice tak v geometrii.
Vzdělávací oblast matematika a její aplikace je tvořena čtyřmi tématickými okruhy:
a) Číslo a početní operace:
V tomto tématickém okruhu si žáci 4. a 5. ročníku prohlubují dovednosti základních početních operací s přirozenými čísly. Na základě činností zvládli žáci v 1. období dobře numeraci do sta i do tisíce, mají správně vytvořený základ k chápání desítkové soustavy. Zpaměti sčítají a odčítají do sta a na základě analogie v první stovce počítají i jednoduché příklady v oboru do tisíce. Mají činnostně vytvořené konkrétní představy o násobení a dělení. Zvládli všechny spoje malé násobilky a dělení beze zbytku v oboru násobilek. Malá násobilka i dělení beze zbytku jsou procvičeny, ale jejich zautomatizování je třeba se nadále věnovat. Žáci se dále seznámili s tím, jak zpaměti násobit dvojciferné číslo jednociferným, poznali i dělení v oboru násobilek se zbytkem. Z písemných algoritmů se setkali s písemným sčítáním a odčítáním a násobením čísla jednociferným činitelem. Tuto dovednost je třeba přenést do rozšířeného číselného oboru přes tisíc. Při písemném počítání se opíráme o znalosti písemných algoritmů oboru do tisíce a znalost desítkové soustavy. K tomuto učivu nepřistupujeme jako k nové látce, ale necháme žáky do písemných algoritmů: sčítání, odčítání a násobení jednociferným činitelem vstupovat samostatně a individuálně (žáci se tak učí jeden od druhého pod dohledem učitele). Zpaměti se v oboru přes tisíc počítá jen výjimečně a to jen s takovými čísly, která obsahují jen jednu nebo nejvýše dvě číslice různé od nuly.
Novou látkou, kterou mají žáci v tomto období v okruhu početních operací dobře zvládnout, je písemné násobení dvojciferným činitelem, dělení se zbytkem zpaměti a písemné dělení jednociferným dělitelem. Žáky je třeba seznámit i s písemným násobením trojciferným činitelem a písemným dělením dvojciferným dělitelem.
Do výuky můžeme v tomto tématickém okruhu vhodně zařazovat i kalkulačku. Může sloužit např. ke kontrole výsledků příkladů na písemné algoritmy, k výpočtům úloh z běžného života. Je třeba uvážit i to, že u písemného počítání jde jen o zvládnutí jednoduchých algoritmů, které se dají v hodině procvičit na jednom či dvou příkladech, provázených komentářem žáků. Je mnoho důležitějšího učiva, které je třeba do vyučovacích hodin v tomto období zařazovat. Např.: zaokrouhlování, odhady, rozlišování úsudků, tak jak je uvedeno v dalších okruzích matematiky tohoto období.
b) Závislosti, vztahy a práce s daty
Úkolem stanoveným v tomto okruhu je vyhledávat, sbírat a třídit různé údaje, se kterými se v životě žáci setkávají. Orientovat se v jednoduchých tabulkách, číst z nich údaje, využívat je k porovnávání i výpočtům a naučit se též vyhledané údaje sestavovat do tabulek. Žák dále poznává i různé diagramy, seznamuje se s prvními grafy a učí se v nich orientovat. Učivo tohoto okruhu nebudou v žádném případě zvládat všichni žáci stejným tempem. Je proto třeba u těchto úloh k žákům přistupovat diferencovaně, nechat je o problematice úloh a závislostech mezi veličinami často hovořit, dát všem čas k pochopení těchto záznamů. Se záznamy údajů vyjádřenými diagramy a grafy se budou žáci v životě velmi často setkávat. Takovým úlohám je třeba ve výuce věnovat pozornost a neopomíjet je. Dají se přitom dobře využít mezipředmětové vztahy, např.: výsledky některých pokusů z přírodovědy, přehledy některých měření z pracovních činností, tabulky sportovních výkonů z tělesné výchovy aj. Tabulkově jsou uspořádány také jízdní řády, v nichž se žáci učí hledat. Mnohé informace v encyklopediích jsou rovněž uspořádány do diagramů a tabulek
c) Geometrie v rovině a prostoru
Geometrie se ve 4. a 5. ročníku vyučuje již pravidelně, obvykle v samostatné vyučovací hodině, zařazované do rozvrhu každý týden. Vyžaduje-li to téma učiva, zařazujeme geometrické učivo do části hodiny aritmetiky. Některé partie učiva spolu velmi úzce souvisí.
Základní útvary v rovině a prostoru, které má žák v 2. vzdělávacím období zvládnout a rozlišovat, jsou určeny v očekávaných výstupech RVP ZV. Činnostní učení geometrie vytváří jasné představy žáků o útvarech v rovině a jejich vzájemné poloze, podporuje rovněž rozvoj správné prostorové představivosti žáků. Od žáků v tomto období nežádáme, aby se učili definice nebo aby vlastnosti útvarů odříkávali zpaměti. Vedeme je k tomu, aby obrázek nebo model dovedli popsat svými slovy. Také rýsování základních útvarů v rovině spojujeme vždy s hovorem žáků o narýsovaném, k tomu přidáváme i rýsování poznaných útvarů podle jednoduchého popisu.
Základní představy o geometrických obrazcích a tělesech získává žák bezprostředně názorem, nelze předpokládat, že by si je mohl představit z definic. Základní jednotku délky 1 m je potřeba mít ve třídě vyznačenou na určitém místě (vodorovně i svisle), žáci potřebují získat dobrou představu metru k odhadům délek i k základním převodům jednotek délky.
Při výuce obvodu a obsahu obrazců vycházíme z konkrétních situací kolem nás. Žáci snadno pochopí, že obvod obrazců se určuje jako součet délek jeho stran (součet úseček). Vytvoření jasné představy obsahu obdélníka jako počtu shodných jednotkových čtverců, kterými se dá daný obdélník pokrýt, se dá provést jen činností samotných žáků a hovorem o této činnosti. Na toto učivo stejným způsobem navazuje výuka geometrie i fyziky v 6. ročníku. Teprve když žák získá konkrétní představu o obsahu obdélníka, dokáže s porozuměním řešit i slovní úlohy z praktického života. Provádí-li žáci samostatně činnosti patřící k tomuto učivu, vytvoří si jasné konkrétní představy a rozlišování obvodu a obsahu obdélníka nebo čtverce jim pak nečiní žádné problémy.
Cílem výuky geometrii v tomto období je tedy:
a) rozeznávat navzájem základní geometrické obrazce a rozpoznávat je na předmětech
b) správně načrtnout, vystřihnout i narýsovat čtverec, obdélník a libovolný trojúhelník
c) stanovit velikost obvodu čtverce, obdélníka a jiných čtyřúhelníků a narýsovaných trojúhelníků měřením a výpočtem, uvědomovat si, že obrazce zaujímají určitou plochu, kterou lze srovnávat se zvolenou jednotkou obsahu
Geometrie je v učebních osnovách obou ročníků spojena s výukou výtvarné výchovy, kde žáci také zobrazují rovinné útvary. Poznávání geometrických útvarů tedy prolíná oběma předměty. Výpočty obvodů jsou také často zařazeny ve slovních úlohách v aritmetických pracovních sešitech. Žák poznává, že osvojené znalosti z matematiky potřebuje v různých vyučovacích předmětech i při řešení mnoha úloh z praktického života.
d) Slovní úlohy
V 1. vzdělávacím období žáci řešili většinu slovních úloh zpaměti. Důraz byl kladen na porozumění početním výkonům, jejich užití v úlohách ze života. Žáci byli od 1. ročníku vedeni k sestavování slovních úloh. Vymýšleli slovní úlohy s různou tématikou z každodenního života, tvořili k úlohám otázky, vyvolávali se navzájem, odpovídali. Postupně se učili rozlišovat úsudky o několik více, o několik méně, několikrát více, několikrát méně. K výsledku pak docházeli nejkratší cestou vlastní úvahou, často na základě názoru a výpočtem zpaměti. Ke slovní úloze vymyšlené některým žákem dokázali ostatní, pomocí jednoduchých pomůcek, úlohu zobrazit, jindy si zase provést náčrt nebo i záznam základních údajů a ihned odpovídat s výsledkem. Potom vždy přidávali příklad náležející k úloze. U úloh řešených násobením nebo dělením přidávali úsudky typu: „ Když 1 sešit stojí 8 Kč, tak 3 sešity budou stát 3krát více.“ nebo „Když za 4 koláče zaplatím 28 Kč, tak za 1 koláč zaplatím čtyřikrát méně.“
Při častém užívání úsudků k řešení úloh z praktického života si žáci uvědomují smysl početních výkonů, správně je k úlohám přiřazují a dovedou též své úvahy zdůvodnit.
Řešení jednoduchých slovních úloh zpaměti je třeba přenést i do 4. a 5. ročníku a nechávat žáky úlohy z praktického života vymýšlet a obměňovat. Do nich je třeba občas zařazovat rozšířený číselný obor, s důrazem na úsudkové počítání.
Jedním z nejdůležitějších úkolů při výuce matematiky ve 2. vzdělávacím období je podpořit a rozvíjet schopnost žáků uvažovat a samostatně řešit jednoduché slovní úlohy zpaměti. Žáky je třeba postupně dovést i k samostatnému řešení zapsaných slovních úloh s jedním nebo dvěma početními výkony.
Protože soustavné řešení slovních úloh výrazně přispívá k rozvoji myšlení žáků, je třeba slovním úlohám ve 4. a 5. ročníku věnovat nejméně polovinu času určeného k výuce matematiky v tomto vzdělávacím období. Slovní úlohy zařazujeme souběžně s numerickým počítáním.
K běžným slovním úlohám přibývají v tomto vzdělávacím období další úlohy, jejichž řešení vyžaduje zvláštní postup, např.: jednoduchá trojčlenka řešená přechodem přes jednotku, úlohy na porovnávání podílem aj. Přitom žáci dojdou k poznání významu jednoduchého zápisu podmínek slovní úlohy, se kterým se i v 1. vzdělávacím období setkávali.
V tomto období vedeme žáky k samostatnému úsudku při řešení slovních úloh a dbáme přitom na zapojení všech žáků do výuky. Je třeba cvičit smysly žáků, předkládat jim nadále nové typy úloh pomocí konkrétního názoru, zadávat jim k pozorování různá schémata, grafy a tabulky. Žáky nechat objevovat vše, na co mohou přijít sami, dbát na jejich samostatnost při činnostech, přizpůsobovat vyučovací postup jejich chápání, vzbuzovat zájem žáků zajímavými úlohami i jinými motivacemi.
C) Obsah učiva – ve 2. vzdělávacím období – matematika
4. ročník (5 hodin týdně, 165 hodin ročně)
Opakování a procvičování učiva v oboru do 1 000:
– numerace – přirozené číslo v desítkové soustavě, činnosti ve skupinách s pomůckami, posloupnost
čísel, jejich čtení a psaní, práce s číselnou osou, porovnávání a zaokrouhlování čísel
– početní výkony
– pamětné sčítání a odčítání s využitím analogie s počítáním do sta, vlastnosti sčítání a odčítání přirozených čísel,
– upevňování a automatizace násobilkových spojů spojené s činnostmi a jednoduchými slovními úlohami z různých oborů lidské činnosti, zadávané úlohy žáci obměňují a sami vymýšlejí další podobné úlohy,
– vlastnosti násobení (záměna činitelů),
– pamětné násobení dvojciferného čísla číslem jednociferným
– činnostní vyvození dělení se zbytkem v oboru násobilek, jeho procvičování; toto učivo je vhodné spojovat s řešením praktických úloh
– písemné sčítání, odčítání a násobení jednociferným činitelem v oboru do 1 000
– úsudkové počítání, rozlišování úsudků
– řešení slovních úloh z praktického života, mezipředmětové vztahy
– práce s tabulkami a diagramy
– čtení údajů z tabulek v učebnici a pracovních sešitech ( NŠ Brno)
– sestavování podobných tabulek žáky
– pozorování diagramů zařazených do učebnice, hovor o nich, vyvození vztahů mezi čísly
Nová látka- aritmetika, 4. r.:
– vyvození písemného dělení jednociferným dělitelem v oboru do 1000, zkouška násobením
– rozšíření číselného oboru nad 1 000, desítková soustava, čtení a psaní čísel, jejich porovnávání,
zaokrouhlování, v numeraci můžeme rozšiřovat číselný obor až do milionu
– práce s číselnou osou, ve 4. ročníku je vhodné zůstat u znázorňování v oboru do 10 000
– řešení slovních úloh prolíná celým obdobím, kdy se rozšiřuje číselný obor
většinou se počítá s čísly kolem tisíce, jde o dovednost řešení slovních úloh, které je třeba věnovat
soustavnou pozornost
– přičítání a odčítání desítek, stovek a tisíců zpaměti v oboru rozšířeném nad tisíc
– písemné sčítání a odčítání v rozšířeném oboru (vyvozují žáci sami), odhady výsledků
– násobení a dělení přirozených čísel 10, 100 a 1 000 zpaměti
– vyvození násobení a dělení čísel zakončených nulami
– algoritmus písemného násobení dvojciferným činitelem, odhady výsledků
– vlastnosti násobení
– dělení jednociferným dělitelem
Geometrie v rovině a prostoru, 4. r.:
– základní útvary v rovině a prostoru, jejich rozlišování
– měření délek, délka úsečky, rozměry obrazců, délky hran těles
– jednotky délky, jednoduché převody jednotek
– přímka, polopřímka, úsečka, bod, rýsování a popis
– kružnice, kruh, rozlišení, rýsování a popis
– kolmice a rovnoběžky, rýsování a náčrty
– jednoduché konstrukce čtverce, obdélníku a pravoúhlého trojúhelníku, náčrty
– grafické sčítání úseček, určení obvodu trojúhelníků a čtyřúhelníků sečtením délek stran, využití
v úlohách z praktického života
5. ročník – matematika: 5 hodin týdně, 165 hodin ročně
Učivo – dokončení oboru přirozených čísel:
– procvičování všech početních výkonů při počítání zpaměti, automatizace násobilkových spojů a dělení v oboru násobilek beze zbytku i se zbytkem
– početní výkony s přirozenými čísly a jejich vlastnosti (komutativnost, asociativnost, distributivnost)
– písemné algoritmy početních operací: sčítání, odčítání, násobení, (algoritmus písemného násobení procvičujeme hlavně při násobení čísel jednociferným nebo dvojciferným činitelem, u násobení čísel víceciferným činitelem volíme příklady typu: 25048 . 3060, 5137. 32000, tj. takové příklady, při jejichž řešení žák prokáže, že algoritmu rozumí)
– písemné dělení jednociferným a dvojciferným dělitelem
– rozšíření číselného oboru přes milion – numerace
– zaokrouhlování přirozených čísel
– provádění odhadů a kontrola výsledků početních operací
– počítání na kalkulátorech – využívání při kontrole výpočtů i při řešení některých slovních úloh
– slovní úlohy na jeden nebo dva početní výkony
– slovní úlohy z praktického života a jejich obměny
– čtení údajů z tabulek a diagramů
– využívání nákresů a tabulek při řešení slovních úloh
– vyhledávání a třídění číselných informací z praktického života
– čtení vhodně sestavených údajů z tabulky a vytváření grafu
– orientace v jízdním řádu
– procvičování rýsování základních geometrických útvarů v rovině (rýsování podle popisu slovního
i písemného, slovní ústní popis narýsovaného – procvičování zručnosti i vyjadřování v geometrii)
– jednotky délky a jejich převody, měření délky
– obvod různých rovinných obrazců – trojúhelníků, čtyřúhelníků i libovolně zvolených mnohoúhelníků
– obsah čtverce a obdélníku pomocí čtvercové sítě, základní jednotka obsahu
– osově souměrné útvary – jejich rozlišování, určení osy souměrnosti přeložením rovinného obrazce
– základní útvary v prostoru, prostorová představivost
V 5. ročníku se dokončuje počítání v oboru přirozených čísel, číselný obor se rozšiřuje do milionu i přes milion. Žáci se tedy naučí číst a psát čísla do milionu i přes milion, porovnávají je a zaokrouhlují. Protože se písemným algoritmům základních početních výkonů věnovalo již dost vyučovacího času, nečiní žákům žádné potíže přejít k písemným algoritmům v rozšířeném číselném oboru.
Při opakování a procvičování učiva je třeba respektovat individuální potřeby žáků a procvičování přizpůsobovat jejich potřebám. Je třeba si povšimnout i toho, do jaké míry je zautomatizována malá násobilka, jak ji žáci dovedou využívat při písemném řešení algoritmů.
V žádném případě by se nemělo stát, aby bylo do výuky matematiky v 5. ročníku zařazováno příliš často písemné počítání s čísly pěti a vícecifernými. Takové příklady je vhodné do výuky zařazovat pouze přiměřeně.
Výuka se v tomto ročníku neobejde bez diferenciace. Protože předcházející výuka měla činnostní charakter, mnozí žáci zvládli desítkovou soustavu výtečně a běžné algoritmy pro písemné výpočty jim nečiní potíže. Vedle toho jsou však ve třídě i žáci, kteří potřebují některé učivo zopakovat a upevnit. Učitel to musí mít na zřeteli, aby na konci 5. ročníku všichni žáci splnili očekávané výstupy.
Novým učivem aritmetiky 5. ročníku je dělení dvojciferným dělitelem. Toto učivo mohou zvládnout jen ti žáci, kteří se naučili správně písemně dělit čísla jednociferným dělitelem. Novým učivem geometrie je výpočet obsahu obdélníka a čtverce vyvozený činnostně i se základní jednotkou obsahu.
Velkou pozornost v 5. ročníku věnujeme úsudkovému počítání, řešení slovních úloh se základními úsudky, slovních úloh s více početními výkony, úloh řešených na základě geometrických nákresů a úloh řešených neobvyklým způsobem. Naším cílem je dosažení samostatnosti žáků při řešení úloh. Soustavně je třeba nechávat žákům možnost úlohy obměňovat nebo sestavovat nové úlohy se zvolenou tématikou.
Činnosti umožňují aktivní zapojování všech žáků do výuky. Žáky při nich přivádíme k samostatnému myšlení nad předloženými problémy, ke schopnosti o věcech a jevech uvažovat a vytvářet hodnotící soudy. Postupně se u žáků rozvíjí i schopnost vyhledávat a třídit informace, logicky myslet a zodpovědně se rozhodovat.
Výuka matematiky směřuje v 5. ročníku k tomu, aby pokud možno všichni žáci dosáhli očekávaných výstupů určených pro 2. vzdělávací období. Umožňuje také individuální rozvoj žáků. Vyučování vyžaduje v tomto období individualizaci a diferenciaci.
Činnostní výuka ve své podstatě umožňuje, aby každý žák mohl pracovat podle svých možností a individuálně se rozvíjely předpoklady žáků pro další úspěšné vzdělávání na 2. stupni
V 2. vzdělávacím období se zdůrazňuje v matematice to učivo, které má význam pro praktický život žáků a pro jejich další vzdělávání. K matematickému učivu se váže schopnost žáků užívat jednoduché úsudky při řešení slovních úloh z praktického života.
D) Očekávané výstupy na konci 2. období v M
Číslo a početní operace
Žák: – využívá při pamětném i písemném počítání komutativnost a asociativnost sčítání a násobení
– provádí písemné početní operace v oboru přirozených čísel
– zaokrouhluje přirozená čísla, provádí odhady a kontroluje výsledky početních operací v oboru
přirozených čísel
-řeší a tvoří úlohy, ve kterých aplikuje osvojené početní operace v celém oboru přirozených čísel
Závislosti, vztahy a práce s daty
Žák: – vyhledává, sbírá a třídí data
– čte a sestavuje jednoduché tabulky a diagramy
Geometrie v rovině a prostoru
Žák: – narýsuje a znázorní základní rovinné útvary ( čtverec, obdélník, trojúhelník, kružnice ),
užívá jednoduché konstrukce
– sčítá a odčítá graficky úsečky, určí délku lomené čáry, obvod mnohoúhelníku sečtením délek
jeho stran
– sestrojí rovnoběžky a kolmice
– určí obsah obrazce pomocí čtvercové sítě a užívá základní jednotky obsahu
– rozpozná a znázorní ve čtvercové síti jednoduché osově souměrné útvary a určí osu souměrnosti
útvaru překládáním papíru
